0 leq p leq 1 और किसी भी धनात्मक a, b के लिए, | vedclass

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Question

(B) $0 \leq p \leq 1$ और $a, b > 0$ दिया गया है। फलन $f(x) = x^p$ पर विचार करें। चूंकि $0 \leq p \leq 1$, फलन $f(x) = x^p$ $x > 0$ के लिए एक अवतल (con

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$I(p) \leq J(p)$

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(B) $0 \leq p \leq 1$ और $a, b > 0$ दिया गया है। फलन $f(x) = x^p$ पर विचार करें। चूंकि $0 \leq p \leq 1$, फलन $f(x) = x^p$ $x > 0$ के लिए एक अवतल (concave) फलन है। अवतल फलन के गुणधर्म के अनुसार, किसी भी $a, b > 0$ और $0 यह दर्शाता है कि $I(p) \leq J(p)$ है। $p=0$ के लिए, $I(0) = (a+b)^0 = 1$ और $J(0) = a^0 + b^0 = 1 + 1 = 2$, इसलिए $1 \leq 2$। $p=1$ के लिए, $I(1) = a+b$ और $J(1) = a+b$, इसलिए $a+b \leq a+b$। अतः, सभी $0 \leq p \leq 1$ के लिए $I(p) \leq J(p)$ सत्य है।

$0 \leq p \leq 1$ और किसी भी धनात्मक $a, b$ के लिए, मान लीजिए $I(p)=(a+b)^{p}$ और $J(p)=a^{p}+b^{p}$. तो:

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