શૂન્યતર સંકર સંખ્યા z માટે,ધારો કે arg (z) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે

Vedclass · Accepted Answer

$-2$

Vedclass · Answer

(A) સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = -\omega$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\omega$ અને $n = 2025$ પદો છે.$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-\omega(1-(-\omega)^{2025})}{1-(-\omega)} = \frac{-\omega(1 - (-\omega^{2025}))}{1+\omega}$.કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $2025$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $\omega^{2025} = 1$.$S = \frac{-\omega(1 - (-1))}{1+\omega} = \frac{-\omega(2)}{1+\omega}$.$1+\omega = -\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{-2\omega}{-\omega^2} = \frac{2}{\omega} = 2\omega^2$.કારણ કે $\omega = e^{i2\pi/3}$,$\omega^2 = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$.તેથી,$\alpha = \arg(2\omega^2) = \arg(e^{-i2\pi/3}) = -\frac{2\pi}{3}$.તેથી,$\frac{3\alpha}{\pi} = \frac{3}{\pi} 	imes \left(-\frac{2\pi}{3}ight) = -2$.

Similar Questions

$\sqrt{i} = $

જો $\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય,તો $(1-\omega+\omega^{2}) \cdot(1-\omega^{2}+\omega^{4}) \cdot(1-\omega^{4}+\omega^{8}) \cdot \ldots$ ($2n$ અવયવો) ની કિંમત શું થાય?

સમીકરણ $(x+1)^4 + 81 = 0$ ના બીજ પૈકીનું એક બીજ કયું છે?

$(8)^{1/3}$ નું મૂલ્ય શું છે?

$(1 - \omega + {\omega ^2})(1 - {\omega ^2} + {\omega ^4})(1 - {\omega ^4} + {\omega ^8}) \dots$ $2n$ અવયવો સુધીનો ગુણાકાર શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module