वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद g(x) के लिए,m_g | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,जहाँ $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ है।चूंकि $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,इसलिए $f(x)$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ ह

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$5$

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(A) मान लीजिए $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,जहाँ $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ है।चूंकि $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,इसलिए $f(x)$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ हैं जिनकी बहुलता कम से कम $2$ है।अतः,$f(1)=0, f(-1)=0$ और $f'(1)=0, f'(-1)=0$ है।रोल के प्रमेय के अनुसार,$(-1, 1)$ के बीच एक $\alpha$ ऐसा मौजूद है कि $f'(\alpha)=0$ हो।इसलिए $f'(x)$ के मूल $-1, \alpha, 1$ हैं,जिसका अर्थ है $m_{f'} \ge 3$।यदि हम $f(x) = (x^2-1)^2$ लें,तो इसके मूल $1, -1$ हैं,इसलिए $m_f = 2$ है।अतः,$m_f + m_{f'} = 2 + 3 = 5$ है।इसलिए,न्यूनतम मान $5$ है।

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$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

मान लीजिए $f(x)$ और $g(x)$ $R$ में दो अवकलनीय फलन हैं,जहाँ $f(2) = 8, g(2) = 0, f(4) = 10$ और $g(4) = 8$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है, $(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

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