एक वास्तविक संख्या x के लिए,[x] को x से कम या | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$.चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजि

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$1$

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(B) माना $I = \int_0^n \cos(2 \pi [x] \{x\}) dx$.चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:$I = \sum_{k=0}^{n-1} \int_k^{k+1} \cos(2 \pi k (x-k)) dx$.$k=0$ के लिए,समाकलन $\int_0^1 \cos(0) dx = \int_0^1 1 dx = 1$ है।$k \geq 1$ के लिए,$u = x-k$ रखने पर,$du = dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\int_0^1 \cos(2 \pi k u) du$ बन जाता है।इसका मान $\left[ \frac{\sin(2 \pi k u)}{2 \pi k} \right]_0^1 = \frac{\sin(2 \pi k) - \sin(0)}{2 \pi k} = \frac{0-0}{2 \pi k} = 0$ है।अतः,$I = 1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1$।

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