$1 + i\alpha$ रूप की सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ के लिए,जहाँ $\alpha \in R$,यदि $z^2 = x + iy$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है?

$|z|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो असमिका $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \log _{ e } 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है।

यदि $z$ और $\omega$ दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं कि $|z \omega|=1$ और $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$,तो $\arg \left(\frac{1-2 \bar{z} \omega}{1+3 \bar{z} \omega}\right)$ का मान है:
(यहाँ $\arg(z)$ सम्मिश्र संख्या $z$ के मुख्य कोणांक को दर्शाता है)

जब सम्मिश्र संख्या $z$ शर्त $\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$ को संतुष्ट करती है, तो $|z|$ का अधिकतम मान क्या है?

सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$) एक-दूसरे की संयुग्मी (conjugate) हैं,इसके लिए:

माना $n$ समीकरण $z^{2}+3 \bar{z}=0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है। तो $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}$ का मान किसके बराबर है?