सम्मिश्र संख्याएँ sin x + i cos 2x और cos x - | vedclass

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Question

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ एक-दूसरे की संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।दिया गया है $z_1 = \sin x + i \c

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$x$ का कोई मान नहीं

Vedclass · Answer

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ एक-दूसरे की संयुग्मी होती हैं यदि $z_1 = \overline{z_2}$ हो।दिया गया है $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i \sin 2x$।$z_2$ का संयुग्मी $\overline{z_2} = \cos x + i \sin 2x$ है।$z_1 = \overline{z_2}$ के लिए,$\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$ होना चाहिए।वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:$1$) $\sin x = \cos x \implies 	an x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।$2$) $\cos 2x = \sin 2x \implies 	an 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।$x$ के लिए इन दोनों शर्तों की तुलना करने पर,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे।अतः,$x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए दी गई सम्मिश्र संख्याएँ एक-दूसरे की संयुग्मी हों।

सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$) एक-दूसरे की संयुग्मी (conjugate) हैं,इसके लिए:

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यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\left(\frac{1-\sqrt{3} i}{2}\right)^{2020}+\left(\frac{1+\sqrt{3} i}{2}\right)^{2026} +\sin \left(\sum_{j=1}^6(j+\omega)(j+\omega^2) \frac{3 \pi}{152}\right)=$

$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2 i}{3}\right)^n$ का मान क्या है?

यदि $x_r = \cos(\pi/3^r) - i\sin(\pi/3^r)$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$),तो $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdots \infty$ का मान ज्ञात कीजिए।

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