दो संख्याएँ $k_1$ और $k_2$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं। तो,इस बात की प्रायिकता कि $i^{k_1} + i^{k_2}$ (जहाँ $i = \sqrt{-1}$) का मान शून्य न हो,बराबर है:

मान लीजिए $\bar{z}$ एक सम्मिश्र संख्या $z$ का सम्मिश्र संयुग्मी है। यदि $z$ एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या है जिसके लिए $(\bar{z})^2+\frac{1}{z^2}$ के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग पूर्णांक हैं,तो $|z|$ का/के संभावित मान निम्नलिखित में से कौन सा/से है/हैं?

यदि समीकरण $x^{2}+bx+45=0$ $(b \in R)$ के मूल सम्मिश्र संयुग्मी हैं और वे $|z+1|=2\sqrt{10}$ को संतुष्ट करते हैं,तो

सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ एक-दूसरे की संयुग्मी (conjugate) हैं,तो

दिया गया है कि समीकरण $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$,जहाँ $p, q, r, s$ वास्तविक और शून्येतर हैं,का एक वास्तविक मूल है,तो:

यदि $z=3+5i$ है,तो $z^3+\bar{z}+198$ का मान ज्ञात कीजिए।