सभी पूर्णांकों n geq 1 के लिए,निम्नलिखित में | vedclass

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Question

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है। द्विपद प्रमेय के अनुसार,$4^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} 3^2 + \frac{n(n-1)(n-2)

Vedclass · Accepted Answer

$4^n-3n-1$

Vedclass · Answer

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है। द्विपद प्रमेय के अनुसार,$4^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} 3^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} 3^3 + \dots$ है। यह $4^n = 1 + 3n + 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ में सरल हो जाता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $4^n - 3n - 1 = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ प्राप्त होता है। चूंकि कोष्ठक के अंदर का व्यंजक सभी $n \geq 1$ के लिए एक पूर्णांक है,इसलिए $4^n - 3n - 1$ संख्या $9$ से विभाज्य है।

सभी पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा $9$ से विभाज्य है?

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यदि व्यंजक $5^{2n} - 48n + k$ सभी $n \in N$ के लिए $24$ से विभाज्य है,तो $k$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

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