सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ किससे विभाज्य है?

कथन पर विचार करें: $P(n): n^2 - n + 41$ एक अभाज्य संख्या है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,सभी $n \in N$ के लिए। तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

मान लीजिए $P(n): 2+2^2+2^3+\ldots+2^n=2^{n+1}-2, n \in N$. तो,

यदि $n \in N$ है,तो कथन $8n + 16 \leq 2^n$ किसके लिए सत्य है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित असमिका सत्य है:
$(2n + 7) < (n + 3)^{2}$