किसी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $|z| + |z - 1|$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि $z = x + iy$ और $|z - zi| = 1$ है,तो

यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $\frac{z-1}{z-i}$ शुद्ध काल्पनिक है और $z$ का बिंदुपथ $(\alpha, \beta)$ केंद्र और $r$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है,तो $\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=$

यदि $Z \neq \pm 1$ एक सम्मिश्र संख्या है और $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z-1}{Z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ है,तो आर्गंड समतल में $Z$ का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए $a, b \in \mathbb{R}$ और समीकरण $z^2+az+b=0$ के मूल $\alpha, \beta$ सम्मिश्र हैं। यदि मूल बिंदु,$\alpha$ और $\beta$ आर्गंड तल पर एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं,तो

मान लीजिए $z$ और $w$ दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z| = |w|$ और $arg(z) + arg(w) = \pi$ है। तो $z$ किसके बराबर है?