કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,[x] એ x થી નાની | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x)$ એ $T = 2$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે. આપેલ સંકલન $I = \frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ છે. $f(x)$ નો આવર્ત

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x)$ એ $T = 2$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે. આપેલ સંકલન $I = \frac{\pi^2}{10} \int_{-10}^{10} f(x) \cos(\pi x) dx$ છે. $f(x)$ નો આવર્તકાળ $2$ હોવાથી અને $\cos(\pi x)$ નો આવર્તકાળ પણ $2$ હોવાથી,$[-10, 10]$ પરનું સંકલન એ $[0, 2]$ પરના સંકલન કરતા $10$ ગણું થશે. $I = \frac{\pi^2}{10} 	imes 10 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) dx = \pi^2 \int_{0}^{2} f(x) \cos(\pi x) dx$. $x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ (બેકી),તેથી $f(x) = 1 + 0 - x = 1 - x$. $x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$ (એકી),તેથી $f(x) = x - 1$. આમ,$I = \pi^2 \left( \int_{0}^{1} (1 - x) \cos(\pi x) dx + \int_{1}^{2} (x - 1) \cos(\pi x) dx ight)$. પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{1} (1 - x) \cos(\pi x) dx = \left[ (1 - x) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} ight]_0^1 - \int_0^1 (-1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} dx = 0 + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} ight]_0^1 = -\frac{1}{\pi^2} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi^2}$. બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{1}^{2} (x - 1) \cos(\pi x) dx = \left[ (x - 1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} ight]_1^2 - \int_1^2 (1) \frac{\sin(\pi x)}{\pi} dx = 0 - \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} ight]_1^2 = \frac{1}{\pi^2} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi^2} (1 - (-1)) = \frac{2}{\pi^2}$. બંનેનો સરવાળો કરતા,$I = \pi^2 \left( \frac{2}{\pi^2} + \frac{2}{\pi^2} ight) = \pi^2 \left( \frac{4}{\pi^2} ight) = 4$.

Similar Questions

$f(x)$ ના શક્ય વિધેયો પૈકીનું એક જે $\int_{-2}^{2} f(x) dx = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $ ની કિંમત શોધો.

જો $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ હોય,તો $I_2+I_4, I_3+I_5, I_4+I_6, \ldots$ એ શેમાં છે?

જો $f(x) = \frac{2 - x \cos x}{2 + x \cos x}$ અને $g(x) = \ln x$ $(x > 0)$ હોય,તો સંકલન $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module