$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=$

જો $\int_0^{10} f(x) d x=5$ હોય,તો $\sum_{k=1}^{10} \int_0^1 f(k-1+x) d x=$

ધારો કે $g_i: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}, i=1, 2$,અને $f: \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right] \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $g_1(x)=1, g_2(x)=|4x-\pi|$ અને $f(x)=\sin^2 x$,દરેક $x \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right]$ માટે.
$S_i = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} f(x) \cdot g_i(x) dx, i=1, 2$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
$(1)$ $\frac{16S_1}{\pi}$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $\frac{48S_2}{\pi^2}$ નું મૂલ્ય.

ધારો કે $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, 1]$ એ $f(x) = \sin^2 x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને ધારો કે $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [0, \infty)$ એ $g(x) = \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે.
(આ ફકરા પર આધારિત બે પ્રશ્નો છે. નીચે આપેલા પ્રશ્નો તે બે છે.)
$(1)$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.
$(2)$ $\frac{16}{\pi^3} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) g(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

એવા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ ની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી તમામ $x \in (0,1]$ માટે $f(x) < x^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$ થાય?