$p$ ની કેટલી કિંમતો માટે વર્તુળ $x^2+y^2+2x+4y-p=0$ અને યામ અક્ષો બરાબર ત્રણ સામાન્ય બિંદુઓ ધરાવે છે?

બે જહાજો એક જ સમયે બંદર છોડે છે. તેમાંથી એક $8 \text{ kmph}$ ની ઝડપે $E 50^{\circ} N$ ની દિશામાં ગતિ કરે છે અને બીજું $12 \text{ kmph}$ ની ઝડપે $S 20^{\circ} E$ ની દિશામાં ગતિ કરે છે. તો $2 \text{ hours}$ ના અંતે જહાજો વચ્ચેનું અંતર (km માં) કેટલું હશે?

ધારો કે $S$ એ રેખા $x-2y-4=0$ અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું પરિવૃત છે. જો $P(-2, -4)$ એ વર્તુળ $S$ ના સમતલમાં એક બિંદુ હોય અને $Q$ એ $S$ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર ન્યૂનતમ હોય,તો $PQ=$

$x+y-2=0$,$x+y-6=0$,$x-y+1=0$ અને $x-y+5=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ચોરસમાં અંતર્ગત વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ અને $y=x^{2}$ વક્રો પરના બિંદુઓ છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $P$ ના કયા અંતરાલના અભિસિસા (abscissa) ના મૂલ્ય માટે ન્યૂનતમ છે?

જો વર્તુળો $x^2+y^2=9$ અને $x^2+y^2+2\alpha x+2y+1=0$ એકબીજાને આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોય,તો $\alpha^3$ ની કિંમત શોધો.