ધન પૂર્ણાંકો $n$ માટે,જો $4 a_n = (n^2 + 5n + 6)$ અને $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{a_k}\right)$ હોય,તો $507 S_{2025}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ પદો}) = \frac{k n}{4(n + 1)}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots$ શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $S_k, k=1, 2, \ldots, 100$,એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો દર્શાવે છે જેનું પ્રથમ પદ $\frac{k-1}{k!}$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{k}$ છે. તો $\frac{100^2}{100!} + \sum_{k=1}^{100} |(k^2 - 3k + 1) S_k|$ નું મૂલ્ય શોધો.

પદાવલિ $3(1!) - 4(2!) + 5(3!) - 6(4!) + \dots - 2008(2006)! + (2007)!$ નું મૂલ્ય શોધો.

જ્યારે $x=2$ હોય ત્યારે શ્રેણી $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{2^{2}}{x^{4}+1}+\ldots+\frac{2^{100}}{x^{2^{100}}+1}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?