$LPP$ के लिए,$x+2y \leq 2$,$x+2y \geq 8$,$x, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $z=x+4y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

एक फर्म को $1200$ पैकेज परिवहन करने हैं,जिसके लिए बड़ी वैन $200$ पैकेज और छोटी वैन $80$ पैकेज ले जा सकती है। प्रत्येक बड़ी वैन का खर्च $Rs. 400$ और प्रत्येक छोटी वैन का खर्च $Rs. 200$ है। इस कार्य पर $Rs. 3000$ से अधिक खर्च नहीं किया जा सकता है और बड़ी वैनों की संख्या छोटी वैनों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती है। यदि उद्देश्य लागत को कम करना है,तो इस समस्या को $LPP$ के रूप में तैयार करें।

एक कुटीर उद्योग पेडस्टल लैंप और लकड़ी के शेड का निर्माण करता है,जिनमें से प्रत्येक के लिए ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन और स्प्रेयर के उपयोग की आवश्यकता होती है। एक पेडस्टल लैंप बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $2 \text{ घंटे}$ और स्प्रेयर पर $3 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। एक शेड बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $1 \text{ घंटा}$ और स्प्रेयर पर $2 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। किसी भी दिन,स्प्रेयर अधिकतम $20 \text{ घंटे}$ और ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन अधिकतम $12 \text{ घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री से लाभ $Rs. 5$ है और एक शेड से लाभ $Rs. 3$ है। यह मानते हुए कि निर्माता अपने द्वारा उत्पादित सभी लैंप और शेड बेच सकता है,उसे अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए अपने दैनिक उत्पादन को कैसे निर्धारित करना चाहिए?

$x+y \leq 10, 5x+3y \geq 15, x \leq 6, x, y \geq 0$ के अधीन $z=x+y$ का अधिकतम मान,

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ का अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर, जो $5x + 10y \leq 50$, $x + y \geq 1$, $y \leq 4$ और $x \geq 0, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन है, $3\lambda$ है। तो $\lambda$ का मान है

$z = 70x + 50y$ को अधिकतम करने के लिए $L$.$P$.$P$. (रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या) का सुसंगत क्षेत्र (feasible region),जो प्रतिबंधों $8x + 5y \leq 60$,$4x + 5y \leq 40$ और $x \geq 0, y \geq 0$ के अधीन है,क्या है?