रैखिक समीकरण निकाय a x+y+z=1,x+a y+z=1,x+y+a | vedclass

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Question

(A) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \ 1 & a & 1 \ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2-1) - 1(a-1) + 1(1-a) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)

Vedclass · Accepted Answer

यदि $a=2$ और $\beta=-1$ है तो इसके अनंत हल हैं

Vedclass · Answer

(A) गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \ 1 & a & 1 \ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2-1) - 1(a-1) + 1(1-a) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2)$ है।जब $a=1$ होता है,तो समीकरण $x+y+z=1$,$x+y+z=1$,$x+y+z=\beta$ बन जाते हैं। यदि $\beta=1$ है,तो अनंत हल प्राप्त होते हैं। अतः,विकल्प $D$ सही है।जब $a=-2$ होता है,तो $D=0$ होता है। $\beta=1$ के लिए संवर्धित आव्यूह $\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ है। पंक्तियों को जोड़ने पर $0=3$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,कोई हल नहीं है। विकल्प $B$ सही है।जब $a=2$ और $\beta=1$ होता है,तो $D = (2-1)^2(2+2) = 4 
eq 0$ होता है। निकाय का अद्वितीय हल है। क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर,$x=y=z = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है। अतः $x+y+z = \frac{3}{4}$ है। विकल्प $C$ सही है।जब $a=2$ और $\beta=-1$ होता है,तो $D=4 
eq 0$ होने के कारण,निकाय का अद्वितीय हल होता है,न कि अनंत हल। अतः,विकल्प $A$ गलत है।

रैखिक समीकरण निकाय $a x+y+z=1$,$x+a y+z=1$,$x+y+a z=\beta$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

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यदि $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ है, तो $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =$

यदि समीकरणों के निकाय
$2x + 7y + \lambda z = 3$
$3x + 2y + 5z = 4$
$x + \mu y + 32z = -1$
के अनंत हल हैं,तो $(\lambda - \mu)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $AX=D$ युगपत रैखिक समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=6$,$5x-y+2z=3$ और $2x+y-z=-5$ का प्रतिनिधित्व करता है,तो $(\operatorname{Adj} A)D=$

यदि समीकरणों की प्रणाली $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}-1=0$,$\frac{2}{x}-\frac{4}{y}+\frac{3}{z}-1=0$ और $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}-\frac{6}{z}-4=0$ का हल $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ है,तो $\alpha^2+\gamma^2=$

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