दिया गया है f(x) = 4x^3 - 6x^2 cos 2a + 3x si | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x)$ केवल तभी परिभाषित है यदि वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक हो,अर्थात $\ln(2a - a^2) \ge 0$।इसका अर्थ है $2a - a^2 \ge 1$,जो सरल होकर $

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$f'(1/2) > 0$

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(D) फलन $f(x)$ केवल तभी परिभाषित है यदि वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक हो,अर्थात $\ln(2a - a^2) \ge 0$।इसका अर्थ है $2a - a^2 \ge 1$,जो सरल होकर $a^2 - 2a + 1 \le 0$ या $(a - 1)^2 \le 0$ हो जाता है।चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $(a - 1)^2 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = 1$।$f(x)$ में $a = 1$ रखने पर,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cos 2 + 3x \sin 2 \sin 6$ प्राप्त होता है।अब,अवकलज $f'(x) = 12x^2 - 12x \cos 2 + 3 \sin 2 \sin 6$ ज्ञात करें।$x = 1/2$ पर मान रखने पर,$f'(1/2) = 12(1/4) - 12(1/2) \cos 2 + 3 \sin 2 \sin 6 = 3 - 6 \cos 2 + 3 \sin 2 \sin 6$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $\sin 2 \sin 6 = \frac{1}{2}(\cos 4 - \cos 8)$ का उपयोग करने पर,$f'(1/2) = 3 - 6 \cos 2 + \frac{3}{2}(\cos 4 - \cos 8)$ मिलता है।चूंकि $\cos 2 \approx -0.416$ है,इसलिए $-6 \cos 2 \approx 2.496$ होता है। अतः $f'(1/2) = 3 + 2.496 + \dots > 0$।

दिया गया है $f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cos 2a + 3x \sin 2a \sin 6a + \sqrt{\ln(2a - a^2)}$,तो:

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