दिया गया है कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी | vedclass

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Question

(C) माना मूल बिंदु समबाहु त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र $O$ है। माना $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं और $P$ का स्थिति सदिश $\vec

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(C) माना मूल बिंदु समबाहु त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र $O$ है। माना $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं और $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है।चूंकि $O$ परिकेंद्र है,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R,$ जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।$s=1$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$चूंकि $P$ परिवृत्त पर स्थित है,$|\vec{r}| = R = \frac{1}{\sqrt{3}}.$हमें $S = |\vec{r}-\vec{a}|^2 + |\vec{r}-\vec{b}|^2 + |\vec{r}-\vec{c}|^2$ की गणना करनी है।इसका विस्तार करने पर:$S = (\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{r}-\vec{a}) + (\vec{r}-\vec{b}) \cdot (\vec{r}-\vec{b}) + (\vec{r}-\vec{c}) \cdot (\vec{r}-\vec{c})$$S = 3|\vec{r}|^2 + (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2\vec{r} \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}).$मूल बिंदु पर केंद्रित समबाहु त्रिभुज के लिए,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}.$साथ ही,$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = R^2 = \frac{1}{3}$ और $|\vec{r}|^2 = R^2 = \frac{1}{3}.$इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$S = 3(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - 2\vec{r} \cdot \vec{0}$$S = 1 + 1 - 0 = 2.$

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