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Question

(C) दिया गया है $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$. चूंकि $a_k = a_1 r^{k-1}$,गुणनफल $a_1^{12} r^{66}$ है। अतः,$\log_8(a_1^{12} r^{66}) = 2014 \Rig

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$46$

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(C) दिया गया है $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$. चूंकि $a_k = a_1 r^{k-1}$,गुणनफल $a_1^{12} r^{66}$ है। अतः,$\log_8(a_1^{12} r^{66}) = 2014 \Rightarrow a_1^{12} r^{66} = 8^{2014} = 2^{6042}$. मान लीजिए $a_1 = 2^m$ और $r = 2^n$ जहाँ $m, n$ पूर्णांक हैं। तब $2^{12m + 66n} = 2^{6042}$. इससे $12m + 66n = 6042$ प्राप्त होता है,जो $2m + 11n = 1007$ में सरल हो जाता है। चूंकि श्रेणी बढ़ती हुई है,$n \ge 1$ और $a_1 \ge 1$ के लिए $m \ge 0$ है। $2m = 1007 - 11n$. $m$ के पूर्णांक होने के लिए $1007 - 11n$ को सम होना चाहिए,अतः $n$ विषम होना चाहिए। साथ ही $m > 0 \Rightarrow n अतः $n \in \{1, 3, 5, \dots, 91\}$। ऐसी कुल संख्या $\frac{91 - 1}{2} + 1 = 46$ है।

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