એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ ધ્યાનમાં લો જે $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P(X)$ એ $X$ નો ઘાતગણ છે. સાબિત કરો કે $X$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $X$ એ આ ક્રિયાના સંદર્ભમાં $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.

(A) અહીં દ્વિ-ક્રિયા $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A, B \in P(X)$ માટે $A \,^*\, B = A \cap B$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ $A \in P(X)$ માટે,$A \cap X = A$ અને $X \cap A = A$ થાય છે.
આથી,$A \,^*\, X = A$ અને $X \,^*\, A = A$ દરેક $A \in P(X)$ માટે સાચું છે.
તેથી,$X$ એ આપેલી દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.
હવે,$A \in P(X)$ એ વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક ત્યારે જ કહેવાય જો કોઈ $B \in P(X)$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $A \,^*\, B = X$ અને $B \,^*\, A = X$ થાય (કારણ કે $X$ તટસ્થ ઘટક છે).
આનો અર્થ એ છે કે $A \cap B = X$ અને $B \cap A = X$.
કારણ કે $A \subseteq X$ અને $B \subseteq X$,તેથી છેદગણ $A \cap B$ ત્યારે જ $X$ બરાબર હોઈ શકે જો $A = X$ અને $B = X$ હોય.
તેથી,$X$ એ આપેલી ક્રિયા $^*$ માટે $P(X)$ માં એકમાત્ર વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટક છે.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.