એક $A.P.$ આપેલ છે જેના તમામ પદો ધન પૂર્ણાંકો છે. તેના પ્રથમ નવ પદોનો સરવાળો $200$ થી વધુ અને $220$ થી ઓછો છે. જો તેનું બીજું પદ $12$ હોય,તો તેનું $4^{th}$ પદ કેટલું હશે?

$n$ બાજુવાળા બહિર્મુખ બહુકોણના અંતઃકોણો $G.P.$ માં છે. સૌથી નાનો ખૂણો $120^\circ$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે. $n$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે $S_n$ એ $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. જો $S_4 = 16$ અને $S_6 = -48$ હોય,તો $S_{10}$ ની કિંમત શોધો.

જો $|\alpha| < 1$ અને $|\beta| < 1$ હોય,જ્યાં $s_1 = 1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots \infty$ અને $s_2 = 1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots \infty$ હોય,તો $1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots \infty$ ની કિંમત શું થાય?

એક વ્યક્તિએ $4500$ ચલણી નોટો ગણવાની છે. ધારો કે $a_n$ એ $n^{th}$ મિનિટમાં ગણેલી નોટોની સંખ્યા દર્શાવે છે. જો $a_1 = a_2 = \ldots = a_{10} = 150$ હોય અને $a_{10}, a_{11}, \ldots$ એ સામાન્ય તફાવત $-2$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં હોય,તો બધી નોટો ગણવા માટે તેને લાગતો સમય ............... મિનિટ છે.

જો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.