यह दिया गया है कि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान ही लेते हैं। तो,$x$ के उन वास्तविक मानों की संख्या जो $\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4 x}{5}\right)=\sin ^{-1} x$ को संतुष्ट करते हैं,बराबर है:

मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1} (\cot x - 2 \cot 2x)$,तो $\left[ \sum_{r = 1}^7 f(r) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

समीकरण $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ के वास्तविक हलों की कुल संख्या क्या है? $($यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} x$ क्रमशः $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान ग्रहण करते हैं.$)$

मान लीजिए $\cos ^{-1}(x) + \cos ^{-1} (2x) + \cos ^{-1}(3x) = \pi.$ यदि $x$ त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx - 1 = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $(a + b + c)$ का मान है -

यदि $f(x) = 2 \sin^{-1} \sqrt{1-x} + \sin^{-1} (2 \sqrt{x(1-x)})$ जहाँ $x \in (0, 1/2)$ है,तो $f'(x)$ का मान किसके बराबर है?

यदि $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$ है, तो $x \in$