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Question

(D) दिया गया समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर परिभाषित कौशी का कार्यात्मक समीकरण है।किसी भी $x \in \mathbb{Z}$ के ल

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अनंत

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(D) दिया गया समीकरण $f(x+y) = f(x) + f(y)$ पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर परिभाषित कौशी का कार्यात्मक समीकरण है।किसी भी $x \in \mathbb{Z}$ के लिए,हम लिख सकते हैं $f(nx) = nf(x)$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।विशेष रूप से,$x = 1$ के लिए,हमें $f(n) = f(n \cdot 1) = n \cdot f(1)$ प्राप्त होता है।माना $f(1) = c$,जहाँ $c$ कोई भी पूर्णांक स्थिरांक है क्योंकि सह-प्रांत $\mathbb{Z}$ है।इस प्रकार,किसी भी $c \in \mathbb{Z}$ के लिए $f(n) = cn$ होता है।चूँकि पूर्णांक $c$ के लिए अनंत विकल्प हैं,इसलिए ऐसे अनंत फलन संभव हैं।

ऐसे कितने फलन $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ हैं कि सभी $x, y \in \mathbb{Z}$ के लिए $f(x+y)=f(x)+f(y)$ हो?

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