ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ n हैं जिनके लिए | vedclass

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Question

(A) हम ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n! + 10 = k^2$ हो।स्थिति $1$: यदि $n=1$,$1! + 10 = 11$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।स्थिति $2$: यदि

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$1$

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(A) हम ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n! + 10 = k^2$ हो।स्थिति $1$: यदि $n=1$,$1! + 10 = 11$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।स्थिति $2$: यदि $n=2$,$2! + 10 = 12$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।स्थिति $3$: यदि $n=3$,$3! + 10 = 6 + 10 = 16 = 4^2$ (पूर्ण वर्ग है)।स्थिति $4$: यदि $n=4$,$4! + 10 = 24 + 10 = 34$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।स्थिति $5$: यदि $n=5$,$5! + 10 = 120 + 10 = 130$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।स्थिति $6$: यदि $n \ge 5$,तो $n!$ में $10$ का गुणज है क्योंकि $n!$ में $2$ और $5$ गुणनखंड हैं।अतः,$n \ge 5$ के लिए $n! + 10$ का अंतिम अंक $0$ है। किसी पूर्ण वर्ग संख्या का अंतिम अंक $0$ होने पर उसका दहाई का अंक भी $0$ होना चाहिए,जो यहाँ संभव नहीं है।इसलिए,केवल $n=3$ ही शर्त को पूरा करता है।

ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ हैं जिनके लिए $n! + 10$ एक पूर्ण वर्ग है?

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