यदि x, y, z in R^+ इस प्रकार हैं कि z y x | vedclass

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Question

(C) माना $u = \log_{x}y$. तब $\log_{y}x = \frac{1}{u}$.दिया है $\frac{1}{u} + u = \frac{5}{2}$,जिसका अर्थ है $2u^2 - 5u + 2 = 0$.$u$ के लिए हल करने पर

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$6$

Vedclass · Answer

(C) माना $u = \log_{x}y$. तब $\log_{y}x = \frac{1}{u}$.दिया है $\frac{1}{u} + u = \frac{5}{2}$,जिसका अर्थ है $2u^2 - 5u + 2 = 0$.$u$ के लिए हल करने पर,हमें $(2u - 1)(u - 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $u = 2$ या $u = \frac{1}{2}$.चूंकि $y > x > 1$,इसलिए $\log_{x}y > 1$,अतः $u = 2$,जिसका अर्थ है $y = x^2$.माना $v = \log_{y}z$. तब $\log_{z}y = \frac{1}{v}$.दिया है $\frac{1}{v} + v = \frac{10}{3}$,जिसका अर्थ है $3v^2 - 10v + 3 = 0$.$v$ के लिए हल करने पर,हमें $(3v - 1)(v - 3) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = 3$ या $v = \frac{1}{3}$.चूंकि $z > y > 1$,इसलिए $\log_{y}z > 1$,अतः $v = 3$,जिसका अर्थ है $z = y^3$.$y = x^2$ को $z = y^3$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $z = (x^2)^3 = x^6$ प्राप्त होता है।अतः,$\log_{x}z = \log_{x}(x^6) = 6$.

यदि $x, y, z \in R^+$ इस प्रकार हैं कि $z > y > x > 1$,$\log_{y}x + \log_{x}y = \frac{5}{2}$ और $\log_{z}y + \log_{y}z = \frac{10}{3}$ है,तो $\log_{x}z$ का मान ज्ञात कीजिए।

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