यदि f(x) = begin{cases} 3 + x; & x geqslant 0 | vedclass

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Question

(D) $\lim_{x 	o 0} f(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वामपक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिणपक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करेंगे।$LHL$ $(x 	o 0^-)$ क

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अस्तित्व में नहीं है

Vedclass · Answer

(D) $\lim_{x 	o 0} f(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ पर वामपक्ष सीमा $(LHL)$ और दक्षिणपक्ष सीमा $(RHL)$ का मूल्यांकन करेंगे।$LHL$ $(x 	o 0^-)$ के लिए:जैसे $x 	o 0^-$,$f(x) = 2 - 3x$ है। चूँकि $x$,$0$ से थोड़ा छोटा है,इसलिए $f(x)$,$2$ से थोड़ा बड़ा होगा।माना $u = f(x)$ है। जैसे $x 	o 0^-$,$u 	o 2^+$ होगा।चूँकि $u > 0$ है,हम परिभाषा $f(u) = 3 + u$ का उपयोग करेंगे।अतः,$\lim_{x 	o 0^-} f(f(x)) = \lim_{u 	o 2^+} (3 + u) = 3 + 2 = 5$।$RHL$ $(x 	o 0^+)$ के लिए:जैसे $x 	o 0^+$,$f(x) = 3 + x$ है। चूँकि $x$,$0$ से थोड़ा बड़ा है,इसलिए $f(x)$,$3$ से थोड़ा बड़ा होगा।माना $u = f(x)$ है। जैसे $x 	o 0^+$,$u 	o 3^+$ होगा।चूँकि $u > 0$ है,हम परिभाषा $f(u) = 3 + u$ का उपयोग करेंगे।अतः,$\lim_{x 	o 0^+} f(f(x)) = \lim_{u 	o 3^+} (3 + u) = 3 + 3 = 6$।चूँकि $LHL$ $(5)$ और $RHL$ $(6)$ समान नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

यदि $f(x) = \begin{cases} 3 + x; & x \geqslant 0 \\ 2 - 3x; & x < 0 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \to 0} f(f(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$,जहाँ $g$ और $h$ विवृत अंतराल $(a, b)$ पर सतत फलन हैं। $a < x < b$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

यदि $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है,तो $\lambda = $ (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।

मान लीजिए $f(x) = \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{\sin 2x}$,$x \neq 0$ है। $f(x)$ को $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$f(0)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाना चाहिए:

$f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{यदि } x < 0 \\ -x + 2, & \text{यदि } x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए।

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