मान लीजिए f: R rightarrow R इस प्रकार परिभाषि | vedclass

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Question

(C) $f$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = \mu$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा

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$e(-e+1)$

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(C) $f$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x ightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}} f(x) = f(2) = \mu$ होना चाहिए।सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x ightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}} e^{\frac{	an(x-2)}{x-[x]}}$. चूँकि $x > 2$,इसलिए $[x] = 2$,अतः $\lim_{x ightarrow 2^{+}} e^{\frac{	an(x-2)}{x-2}} = e^{1} = e$.इस प्रकार,$\mu = e$.अब,बाईं सीमा $(LHL)$ ज्ञात करते हैं:$\lim_{x ightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}} \frac{\lambda|x^{2}-5x+6|}{\mu(5x-x^{2}-6)}$.यहाँ $x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3)$ है। $x  0$ होगा। अतः $|x^{2}-5x+6| = (x-2)(x-3)$.साथ ही,$5x-x^{2}-6 = -(x^{2}-5x+6) = -(x-2)(x-3)$.अतः,$\lim_{x ightarrow 2^{-}} f(x) = \frac{\lambda(x-2)(x-3)}{\mu(-(x-2)(x-3))} = -\frac{\lambda}{\mu}$.सीमाओं की तुलना करने पर: $-\frac{\lambda}{\mu} = e \Rightarrow \lambda = -\mu e = -e^{2}$.इसलिए,$\lambda + \mu = -e^{2} + e = e(-e+1)$.

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यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है और $x = 0$ पर एक अपरिहार्य (irremovable) असांतत्यता रखता है?

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