निम्नलिखित में से कौन सा फलन x = 0 पर परिभाषि | vedclass

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Question

(D) यदि $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है,तो फलन $x = a$ पर एक अपरिहार्य असांतत्यता रखता है।$(1)$ $f(x) = \frac{1}{\ln |x|}$ के लिए,$\lim_{x \

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$f(x) = \frac{1}{1 + 2^{\cot x}}$

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(D) यदि $\lim_{x 	o a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है,तो फलन $x = a$ पर एक अपरिहार्य असांतत्यता रखता है।$(1)$ $f(x) = \frac{1}{\ln |x|}$ के लिए,$\lim_{x 	o 0} \frac{1}{\ln |x|} = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए यह एक परिहार्य (removable) असांतत्यता है।$(2)$ $f(x) = \cos \left( \frac{|\sin x|}{x} ight)$ के लिए:$\lim_{x 	o 0^+} \cos \left( \frac{\sin x}{x} ight) = \cos(1)$$\lim_{x 	o 0^-} \cos \left( \frac{-\sin x}{x} ight) = \cos(-1) = \cos(1)$।चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए यह एक परिहार्य असांतत्यता है।$(3)$ $f(x) = x \sin \frac{\pi}{x}$ के लिए,स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x 	o 0} x \sin \frac{\pi}{x} = 0$। चूंकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए यह एक परिहार्य असांतत्यता है।$(4)$ $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{\cot x}}$ के लिए:$\lim_{x 	o 0^+} \frac{1}{1 + 2^{\cot x}} = \frac{1}{1 + 2^{\infty}} = 0$$\lim_{x 	o 0^-} \frac{1}{1 + 2^{\cot x}} = \frac{1}{1 + 2^{-\infty}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$।चूंकि बायां पक्ष सीमा $(1)$ और दायां पक्ष सीमा $(0)$ समान नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$x = 0$ पर यह एक अपरिहार्य असांतत्यता रखता है।

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर परिभाषित नहीं है और $x = 0$ पर एक अपरिहार्य (irremovable) असांतत्यता रखता है?

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यदि $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{[x^2] + [(2x)^2] + [(3x)^2] + \cdots + [(nx)^2]}{n^3}$ है,तो $f(x)$ है (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है).

यदि $f(x) = \frac{\ln(e^{x^2} + 2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$,$x = 0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान क्या होगा?

यदि फलन $f(x) = \frac{2x - \sin^{-1}x}{2x + \tan^{-1}x}, (x \neq 0)$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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