$f: R \to R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित करें। तो $x = 0$ पर $f$ के सतत होने के लिए $a$ का मान है:

यदि $f(x)= \begin{cases}-2 \sin x & , \quad x \leqslant-\frac{\pi}{2} \\ a \sin x+b & , \quad \frac{-\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x & , \quad x \geqslant \frac{\pi}{2}\end{cases}$ बिंदु $x=-\frac{\pi}{2}$ और $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $2a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^{n}$ बिंदु $x = n$ पर संतत है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

मान लीजिए $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से अधिक नहीं है और $C=1-2e^2$ है। यदि फलन $f(x)=\begin{cases} [e^x], & x < 0 \\ ae^x+[x-2], & 0 \leq x < 2 \\ [e^{-x}]-C, & x \geq 2 \end{cases}$ बिंदु $x=2$ पर सतत है,तो $f(x)$ कहाँ असतत है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \alpha+\frac{\sin [x]}{x}, & \text{यदि } x>0 \\ 2, & \text{यदि } x=0 \\ \beta+\left[\frac{\sin x-x}{x^3}\right], & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \text{ के लिए } \\ k, & x=0 \text{ के लिए } \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।