જો f(x) એ વિકલનીય વિધેય હોય કે જેથી તમામ x, y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.$x = 1$ અને $y = 1$ લેતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.હવે,આપેલ સમીકરણનુ

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.$x = 1$ અને $y = 1$ લેતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.હવે,આપેલ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($x$ ને અચળ રાખીને):$\frac{d}{dy} f(xy) = \frac{d}{dy} (f(x) + f(y))$$f'(xy) \cdot x = f'(y)$.$y = 1$ લેતા,આપણને $x \cdot f'(x) = f'(1)$ મળે છે.ધારો કે $f'(1) = k$,તો $f'(x) = \frac{k}{x}$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x) = k \ln(x) + C$ મળે છે.$f(1) = 0$ હોવાથી,$k \ln(1) + C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.આમ,$f(x) = k \ln(x)$.હવે,$f(e) + f(1/e)$ ની ગણતરી કરીએ:$f(e) = k \ln(e) = k(1) = k$.$f(1/e) = k \ln(1/e) = k \ln(e^{-1}) = -k \ln(e) = -k$.તેથી,$f(e) + f(1/e) = k + (-k) = 0$.

જો $f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય હોય કે જેથી તમામ $x, y > 0$ માટે $f(xy) = f(x) + f(y)$ થાય,તો $f(e) + f(1/e) = ?$

Similar Questions

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $f: R \rightarrow R$ એવા કેટલા સતત વિધેયો છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) + f(2x) = 0$ થાય?

$b$ અને $c$ ની કઈ કિંમતો માટે નિત્યસમ $f(x + 1) - f(x) = 8x + 3$ સંતોષાય છે,જ્યાં $f(x) = bx^2 + cx + d$ છે?

ધારો કે $f$ એ $x$ અને $y$ ની તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. જો $f(30) = 20$ હોય,તો $f(40) = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module