ધારો કે R એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. f: | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) + f(2x) = 0$ છે,જે તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે. $x = 0$ મૂકતા,આપણને $f(0) + f(0) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x) + f(2x) = 0$ છે,જે તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે. $x = 0$ મૂકતા,આપણને $f(0) + f(0) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0) = 0$,તેથી $f(0) = 0$. આપેલ સમીકરણ પરથી,$f(x) = -f(x/2)$. આ સંબંધનું પુનરાવર્તન કરતા,આપણને $f(x) = -f(x/2) = f(x/4) = -f(x/8) = \dots = (-1)^n f(x/2^n)$ મળે છે. કારણ કે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{n 	o \infty} f(x/2^n) = f(\lim_{n 	o \infty} x/2^n) = f(0) = 0$. આમ,$f(x) = \lim_{n 	o \infty} (-1)^n f(x/2^n) = 0$. તેથી,શરતનું પાલન કરતું એકમાત્ર સતત વિધેય શૂન્ય વિધેય $f(x) = 0$ છે. આમ,આવા માત્ર $1$ વિધેય શક્ય છે.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $f: R \rightarrow R$ એવા કેટલા સતત વિધેયો છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) + f(2x) = 0$ થાય?

Similar Questions

જો તમામ $x, y \in R$ માટે $f(x - y) + f(x + y) = 2f(x)f(y)$ હોય, તો $f(x)$ એ ..... છે.

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,જ્યાં $x, y \in R$ અને $f(1)=7$ હોય,તો $\sum_{t=1}^{39} f(t)$ શોધો.

જો તમામ $x$ અને $y$ માટે $f(x + y) = f(x)f(y)$ હોય અને $f(5) = 2$,$f'(0) = 3$ હોય,તો $f'(5)$ શું થશે?

ધારો કે $f: N \rightarrow N$ એક એવું વિધેય છે કે જેથી દરેક $m, n \in N$ માટે $f(m+n)=f(m)+f(n)$ થાય. જો $f(6)=18$ હોય,તો $f(2) \cdot f(3)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module