જો y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + left( fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = e^{-2x}$ છે.સંકલ્યકારક અ

Vedclass · Accepted Answer

$y(x)$ એ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ માં ઘટતું વિધેય છે

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = e^{-2x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ છે.વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.આપેલ છે કે $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તેથી $x=1$ અને $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ મૂકતા:$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.આમ,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ મળે છે.વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે તપાસવા માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ મેળવીએ.જ્યારે $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ હોય,ત્યારે $1 - 2x < 0$ થાય,તેથી $\frac{dy}{dx} < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y(x)$ એ અંતરાલ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{2x + 1}{x} \right)y = e^{-2x}, x > 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તો:

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^3 dy + (xy - 1) dx = 0, x > 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y+x^{2}y)dx + (x+x^{3})dy = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module