ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ x^3 dy + (xy - 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપ

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x^2}$ અને $Q = \frac{1}{x^3}$.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x^2} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$.ધારો કે $t = -\frac{1}{x}$,તો $dt = \frac{1}{x^2} dx$. વળી,$\frac{1}{x} = -t$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^t dt = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$.$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.$e^{-\frac{1}{x}}$ વડે ભાગતા,$y = 1 + \frac{1}{x} + C e^{\frac{1}{x}}$ મળે.આપેલ છે કે $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$,તેથી $3 - e = 1 + \frac{1}{1/2} + C e^{\frac{1}{1/2}} = 1 + 2 + C e^2 = 3 + C e^2$.આમ,$3 - e = 3 + C e^2 \implies C e^2 = -e \implies C = -\frac{1}{e} = -e^{-1}$.તેથી,$y(x) = 1 + \frac{1}{x} - e^{-1} e^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x} - 1}$.$x = 1$ માટે,$y(1) = 1 + \frac{1}{1} - e^{\frac{1}{1} - 1} = 1 + 1 - e^0 = 2 - 1 = 1$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^3 dy + (xy - 1) dx = 0, x > 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $x \, dy = y(dx + y \, dy)$,$y(1) = 1$,$y(x) > 0$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

જો $y = f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (\tan x - y) \sec^2 x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉકેલ હોય,અને $y(0) = 0$ હોય,તો $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y dx + (x - y^2) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module