જો Q(0, -1, -3) એ સમતલ 3x - y + 4z = 2 માં બિ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $P$ એ $(x_1, y_1, z_1)$ છે. $Q(0, -1, -3)$ એ સમતલ $3x - y + 4z - 2 = 0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,રેખા $PQ$ સમતલને લંબ છે.સમતલના અભિલંબ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{91}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $P$ એ $(x_1, y_1, z_1)$ છે. $Q(0, -1, -3)$ એ સમતલ $3x - y + 4z - 2 = 0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,રેખા $PQ$ સમતલને લંબ છે.સમતલના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(3, -1, 4)$ છે.રેખા $PQ$ એ $Q(0, -1, -3)$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z+3}{4} = k$ છે.આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k, -k-1, 4k-3)$ છે. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ સમતલ પર આવેલું છે.$M = (\frac{3k}{2}, \frac{-k-2}{2}, \frac{4k-6}{2})$. સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(\frac{3k}{2}) - (\frac{-k-2}{2}) + 4(\frac{4k-6}{2}) = 2$.$9k + k + 2 + 16k - 24 = 4 \implies 26k = 26 \implies k = 1$.આમ,$M = (1.5, -1, 1)$. સદિશ $\vec{QP} = 2\vec{QM} = 2(1.5, 0, 4) = (3, 0, 8)$.$P = Q + (3, 0, 8) = (3, -1, 5)$.હવે,$\vec{QR} = (3-0, -1-(-1), -2-(-3)) = (3, 0, 1)$ અને $\vec{QP} = (3, 0, 8)$.$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{QP} 	imes \vec{QR}|$.$\vec{QP} 	imes \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 0 & 8 \ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 21\hat{j}$.ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |21\hat{j}| = 10.5$.

Similar Questions

રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ અને સમતલ $2x + 2y - z = 6$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

રેખા $\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 4$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module