જો $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ માટે કોઈ $a \in R$ માટે સ્પર્શક હોય,તો ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉપવલય $x^2+4 y^2+2 x+16 y+13=0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

રેખાઓ $x+y=1$ અને $3y=x+3$ એ ઉપવલય $x^{2}+9y^{2}=9$ ને બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ માં છેદે છે. $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$a + b$ લંબાઈની એક નિશ્ચિત રેખા, જ્યાં $a \neq b$, એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેના અંત્યબિંદુઓ હંમેશા બે નિશ્ચિત પરસ્પર લંબ રેખાઓ પર રહે. આ રેખાને $a$ અને $b$ લંબાઈના બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

એક ઉપવલય $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ જ્યાં $a > b$ એ $x$ અને $y$ અક્ષોને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલયના બે નાભિઓ છે અને $O$ એ ઉગમબિંદુ છે જેથી $OF_1 < OF_2$. ધારો કે ત્રિકોણ $OF_1F_2$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ઉપવલય $2x^2 + 5y^2 = 20$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(4, -3)$ નું સ્થાન શું છે?