यदि $a$ और $b$ भिन्न पूर्णांक हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $a-b$,$a^{n}-b^{n}$ का एक गुणनखंड है,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $(a-b)$,$(a^{n}-b^{n})$ का एक गुणनखंड है,हमें यह दिखाना होगा कि $a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हम $a$ को $(a-b)+b$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसलिए,$a^{n} = ((a-b)+b)^{n}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$a^{n} = \sum_{r=0}^{n} {^{n}C_{r}} (a-b)^{n-r} b^{r}$.
इसका विस्तार करने पर,$a^{n} = {^{n}C_{0}}(a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + {^{n}C_{n}}b^{n}$.
चूँकि ${^{n}C_{0}} = 1$ और ${^{n}C_{n}} = 1$,हमारे पास $a^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + b^{n}$ है।
दोनों पक्षों से $b^{n}$ घटाने पर,$a^{n}-b^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1}$.
$(a-b)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $a^{n}-b^{n} = (a-b) [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $k = [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$,जो एक पूर्णांक है।
अतः,$a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,जो सिद्ध करता है कि $(a-b)$,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $a^{n}-b^{n}$ का एक गुणनखंड है।