જો $a, b, c, d$ અને $p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી રીતે હોય કે જેથી $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$ થાય,તો સાબિત કરો કે $a, b, c$ અને $d$ એ $G.P.$ માં છે.

આપેલ છે કે $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$ $(1)$
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a^{2}p^{2}-2abp+b^{2})+(b^{2}p^{2}-2bcp+c^{2})+(c^{2}p^{2}-2cdp+d^{2}) \leq 0$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$(ap-b)^{2}+(bp-c)^{2}+(cp-d)^{2} \leq 0$ $(2)$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અઋણ હોવાથી,સરવાળો $\leq 0$ થવા માટે દરેક પદ $0$ હોવું જોઈએ:
$(ap-b)^{2} = 0, (bp-c)^{2} = 0, (cp-d)^{2} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $ap=b, bp=c, cp=d$.
તેથી,$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$.
સામાન્ય ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.