જો $f(x) = |x|^3$ હોય,તો દર્શાવો કે $f''(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે,અને તેને શોધો.

આપણે જાણીએ છીએ કે નિરપેક્ષ મૂલ્ય વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{જો } x \ge 0 \\ -x, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$
કિસ્સો $1$: જ્યારે $x \ge 0$,ત્યારે $f(x) = |x|^3 = x^3$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
અને $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $x < 0$,ત્યારે $f(x) = |x|^3 = (-x)^3 = -x^3$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2$.
અને $f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x$.
આમ,$f''(x) = 6|x|$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.