જો $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ એ અનુક્રમે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ,તેમના વર્ગો અને તેમના ઘનનો સરવાળો હોય,તો સાબિત કરો કે $9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$.

(N/A) આપેલ માહિતી મુજબ:
$S_{1} = \frac{n(n+1)}{2}$
$S_{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$S_{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
જમણી બાજુ $(RHS)$ લેતા: $S_{3}(1 + 8 S_{1})$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} \left(1 + 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2}\right)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (1 + 4n^{2} + 4n)$
$= \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} (2n+1)^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (1)$
ડાબી બાજુ $(LHS)$ લેતા: $9 S_{2}^{2}$
$= 9 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)^{2}$
$= \frac{9}{36} [n(n+1)(2n+1)]^{2}$
$= \frac{[n(n+1)(2n+1)]^{2}}{4} \quad \dots (2)$
આમ,$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$9 S_{2}^{2} = S_{3}(1 + 8 S_{1})$ સાબિત થાય છે.