यदि f(x) एक ऐसा फलन है जो सभी x, y in N के लि | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x)f(y)$ सभी $x, y \in N$ के लिए।$x = 1$ के लिए,$f(2) = f(1 + 1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$.$x = 2$ के लिए,$f(3) = f(2 + 1)

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$4$

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(A) दिया गया है कि $f(x + y) = f(x)f(y)$ सभी $x, y \in N$ के लिए।$x = 1$ के लिए,$f(2) = f(1 + 1) = f(1)f(1) = 3^2 = 9$.$x = 2$ के लिए,$f(3) = f(2 + 1) = f(2)f(1) = 3^2 \cdot 3 = 3^3 = 27$.गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$f(x) = 3^x$.अब,हमें दिया गया है कि $\sum_{x = 1}^n f(x) = 120$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n = 120$.गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है,जहाँ $a = 3$ और $r = 3$.अतः,$\frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = 120$.$\frac{3(3^n - 1)}{2} = 120$.$3(3^n - 1) = 240$.$3^n - 1 = 80$.$3^n = 81$.$3^n = 3^4$.इसलिए,$n = 4$.

यदि $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो सभी $x, y \in N$ के लिए $f(x + y) = f(x)f(y)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1) = 3$ और $\sum_{x = 1}^n f(x) = 120$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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