જો m એ આપેલ સમીકરણ (1 - ab)x^2 - (a^2 + b^2)x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણ $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$.ધારો કે $H_1,

Vedclass · Accepted Answer

$ab(b - a)$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણ $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$.ધારો કે $H_1, H_2, \dots, H_m$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના $m$ હાર્મોનિક મધ્યકો છે. શ્રેણી $a, H_1, H_2, \dots, H_m, b$ એ હાર્મોનિક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.તેથી,$\frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \dots, \frac{1}{H_m}, \frac{1}{b}$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.ધારો કે આ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તો $\frac{1}{b} = \frac{1}{a} + (m + 1)d$,તેથી $d = \frac{a - b}{ab(m + 1)}$.$H_1 = \frac{1}{\frac{1}{a} + d} = \frac{ab(m + 1)}{mb + a}$ અને $H_m = \frac{1}{\frac{1}{b} - d} = \frac{ab(m + 1)}{ma + b}$.તફાવત $H_m - H_1 = ab(m + 1) \left[ \frac{1}{ma + b} - \frac{1}{mb + a} \right] = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m(a^2 + b^2) + ab(m^2 + 1)}$.સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $m^2 - 1$ થાય છે.તેથી,$H_m - H_1 = \frac{ab(m^2 - 1)(b - a)}{m^2 - 1} = ab(b - a)$.

Similar Questions

શ્રેણી $\cot^{-1} 3 + \cot^{-1} 7 + \cot^{-1} 13 + \cot^{-1} 21 + \dots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શું થાય?

$A.P.$ $1, 4, 7, \ldots$ ના કેટલા પદોનો સરવાળો $715$ થાય?

$2 \sin^2 \theta + 8 \csc^2 \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો (જ્યાં $\theta \in R$):-

જો $A$ એ બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક હોય અને $S$ એ તે જ બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો હોય,તો:

જો એક $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $cn(n - 1)$ હોય,જ્યાં $c \neq 0$,તો આ પદોના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module