यदि $X$ और $Y$ दो ऐसे समुच्चय हैं कि $X \cup Y$ में $18$ अवयव हैं,$X$ में $8$ अवयव हैं,और $Y$ में $15$ अवयव हैं,तो $X \cap Y$ में कितने अवयव हैं?

एक निश्चित शहर में $25\%$ परिवारों के पास फोन है,$15\%$ के पास कार है और $65\%$ परिवारों के पास न तो फोन है और न ही कार। यदि $2000$ परिवारों के पास कार और फोन दोनों हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$1$. $10\%$ परिवारों के पास कार और फोन दोनों हैं।
$2$. $35\%$ परिवारों के पास या तो कार है या फोन है।
$3$. शहर में $40,000$ परिवार रहते हैं।
उपरोक्त में से कौन से कथन सही हैं?

एक सर्वेक्षण से पता चलता है कि एक कार्यालय में काम करने वाले $73 \%$ लोग कॉफी पसंद करते हैं,जबकि $65 \%$ लोग चाय पसंद करते हैं। यदि $x$ उन लोगों के प्रतिशत को दर्शाता है जो कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं,तो $x$ का मान क्या नहीं हो सकता है?

एक परीक्षा में,$40 \%$ छात्र हिंदी में अनुत्तीर्ण हुए,$50 \%$ छात्र अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण हुए। यदि $21 \%$ छात्र दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए,तो हिंदी में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1 - x)} + \sqrt{x + 2}$ का प्रांत (domain) है

मान लीजिए $\bigcup_{i=1}^{50} X_{i} = \bigcup_{i=1}^{n} Y_{i} = T$,जहाँ प्रत्येक $X_{i}$ में $10$ अवयव हैं और प्रत्येक $Y_{i}$ में $5$ अवयव हैं। यदि समुच्चय $T$ का प्रत्येक अवयव $X_{i}$ के ठीक $20$ समुच्चयों और $Y_{i}$ के ठीक $6$ समुच्चयों का एक अवयव है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए: