यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो दर्शाइए कि $n^{2}-1$,$8$ से विभाज्य है।

(N/A) माना $n$ एक विषम पूर्णांक है। किसी भी विषम पूर्णांक को किसी पूर्णांक $k$ के लिए $n = 2k + 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इस मान को व्यंजक $n^{2} - 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$n^{2} - 1 = (2k + 1)^{2} - 1$
$= (4k^{2} + 4k + 1) - 1$
$= 4k^{2} + 4k$
$= 4k(k + 1)$
चूंकि $k$ और $k + 1$ क्रमागत पूर्णांक हैं,इसलिए उनमें से एक संख्या सम होगी। अतः,उनका गुणनफल $k(k + 1)$,$2$ से विभाज्य है।
माना $k(k + 1) = 2m$,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
अतः,$n^{2} - 1 = 4(2m) = 8m$.
चूंकि $n^{2} - 1$,$8$ का एक गुणज है,इसलिए यह किसी भी विषम पूर्णांक $n$ के लिए $8$ से विभाज्य है।