यदि $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cos \theta$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\tan \theta=1$ या $\frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $1+\sin ^{2} \theta=3 \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों को $\cos^{2} \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{3 \sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$
सर्वसमिकाओं $\sec^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta}$,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,और $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 + \tan^{2} \theta) + \tan^{2} \theta = 3 \tan \theta$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$2 \tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \tan^{2} \theta - 2 \tan \theta - \tan \theta + 1 = 0$
$2 \tan \theta (\tan \theta - 1) - 1 (\tan \theta - 1) = 0$
$(2 \tan \theta - 1) (\tan \theta - 1) = 0$
अतः,$\tan \theta - 1 = 0$ या $2 \tan \theta - 1 = 0$
$\tan \theta = 1$ या $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
इति सिद्धम्।