જો $S_{n}$ એ $AP$ (સમાંતર શ્રેણી) ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવતું હોય,તો સાબિત કરો કે $S_{12} = 3(S_{8} - S_{4})$.

$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ ... $(i)$
$S_{8}$ ની ગણતરી:
$S_{8} = \frac{8}{2}[2a + (8 - 1)d] = 4(2a + 7d) = 8a + 28d$
$S_{4}$ ની ગણતરી:
$S_{4} = \frac{4}{2}[2a + (4 - 1)d] = 2(2a + 3d) = 4a + 6d$
હવે,તફાવત $(S_{8} - S_{4})$ ની ગણતરી:
$S_{8} - S_{4} = (8a + 28d) - (4a + 6d) = 4a + 22d$ ... $(ii)$
$S_{12}$ ની ગણતરી:
$S_{12} = \frac{12}{2}[2a + (12 - 1)d] = 6(2a + 11d) = 12a + 66d$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $3(S_{8} - S_{4}) = 3(4a + 22d) = 12a + 66d$.
આમ,$S_{12} = 12a + 66d$ અને $3(S_{8} - S_{4}) = 12a + 66d$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $S_{12} = 3(S_{8} - S_{4})$.