यदि $S_{n}$ एक $AP$ (समांतर श्रेणी) के प्रथम $n$ पदों के योग को दर्शाता है,तो सिद्ध कीजिए कि $S_{12} = 3(S_{8} - S_{4})$।

$AP$ के प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ ... $(i)$
$S_{8}$ की गणना:
$S_{8} = \frac{8}{2}[2a + (8 - 1)d] = 4(2a + 7d) = 8a + 28d$
$S_{4}$ की गणना:
$S_{4} = \frac{4}{2}[2a + (4 - 1)d] = 2(2a + 3d) = 4a + 6d$
अब,अंतर $(S_{8} - S_{4})$ की गणना:
$S_{8} - S_{4} = (8a + 28d) - (4a + 6d) = 4a + 22d$ ... $(ii)$
$S_{12}$ की गणना:
$S_{12} = \frac{12}{2}[2a + (12 - 1)d] = 6(2a + 11d) = 12a + 66d$
समीकरण $(ii)$ से,हम देख सकते हैं कि $3(S_{8} - S_{4}) = 3(4a + 22d) = 12a + 66d$।
चूंकि $S_{12} = 12a + 66d$ और $3(S_{8} - S_{4}) = 12a + 66d$,अतः यह सिद्ध होता है कि $S_{12} = 3(S_{8} - S_{4})$।