यदि alpha, beta समीकरण x^{2}+5 sqrt{2} x+10=0 | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $x^{2}+5 \sqrt{2} x+10=0$ है। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं: $\alpha^{2} + 5 \sqrt{2} \alpha + 1

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$1$

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(D) दिया गया समीकरण $x^{2}+5 \sqrt{2} x+10=0$ है। चूँकि $\alpha$ और $\beta$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करते हैं: $\alpha^{2} + 5 \sqrt{2} \alpha + 10 = 0 \implies \alpha^{2} = -5 \sqrt{2} \alpha - 10$ और $\beta^{2} = -5 \sqrt{2} \beta - 10$.साथ ही,$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ है।व्यंजक $E = \frac{P_{17} P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{17} P_{19}}{P_{18} P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18}^{2}}$ पर विचार करें।अंश में $P_{17}$ और हर में $P_{18}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$E = \frac{P_{17}(P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19})}{P_{18}(P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18})}$.$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ प्रतिस्थापित करने पर:$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = (\alpha^{20} - \beta^{20}) + 5 \sqrt{2} (\alpha^{19} - \beta^{19}) = \alpha^{19}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{19}(\beta + 5 \sqrt{2})$.द्विघात समीकरण से,$\alpha + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\alpha}$ और $\beta + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\beta}$ है।इन मानों को रखने पर:$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = \alpha^{19}(-\frac{10}{\alpha}) - \beta^{19}(-\frac{10}{\beta}) = -10 \alpha^{18} + 10 \beta^{18} = -10 P_{18}$.इसी प्रकार,$P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18} = \alpha^{18}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{18}(\beta + 5 \sqrt{2}) = -10 \alpha^{17} + 10 \beta^{17} = -10 P_{17}$.अतः,$E = \frac{P_{17}(-10 P_{18})}{P_{18}(-10 P_{17})} = 1$.

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