જો y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ (1 + e^{2x}) frac{d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.ચલને અલગ કરતા:$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.બંને બાજુ સંકલ

Vedclass · Accepted Answer

$-4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$.ચલને અલગ કરતા:$\frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{2e^x}{1 + e^{2x}} dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા:$\int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{2e^x}{1 + (e^x)^2} dx$.ધારો કે $u = e^x$,તો $du = e^x dx$. સંકલન કરતા:$	an^{-1}(y) = -2 	an^{-1}(e^x) + C$.$y(0) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:$	an^{-1}(0) = -2 	an^{-1}(e^0) + C \implies 0 = -2(\frac{\pi}{4}) + C \implies C = \frac{\pi}{2}$.આમ,ઉકેલ $	an^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^x)$ છે.$y'(0)$ શોધવા માટે,મૂળ વિકલ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા:$(1 + e^0) y'(0) + 2(1 + 0^2)e^0 = 0 \implies 2y'(0) + 2 = 0 \implies y'(0) = -1$.હવે,$y(\log_e \sqrt{3})$ શોધીએ:$	an^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^{\log_e \sqrt{3}}) = \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.તેથી,$y = 	an(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.તેથી $(y(\log_e \sqrt{3}))^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.અંતે,$6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2) = 6(-1 + \frac{1}{3}) = 6(-\frac{2}{3}) = -4$.

જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + 2(1 + y^2)e^x = 0$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0) = 0$ હોય,તો $6(y'(0) + (y(\log_e \sqrt{3}))^2)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \sec y \frac{dy}{dx} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $dy=e^{\alpha x+y} dx$ નો ઉકેલ છે; $\alpha \in N$. જો $y(\log_{e} 2)=\log_{e} 2$ અને $y(0)=\log_{e}(\frac{1}{2})$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.....$ છે.

વિકલ સમીકરણ $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $\phi$ એક સ્વૈચ્છિક વિધેય છે.

જો $\frac{dy}{dx} + 2x \tan(x-y) = 1$ હોય, તો $\sin(x-y)$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module