यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ को संतुष्ट करती है,तो $|z+z^{-1}|$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

यदि समीकरण $x^{2}+bx+45=0$ $(b \in R)$ के मूल सम्मिश्र संयुग्मी हैं और वे $|z+1|=2\sqrt{10}$ को संतुष्ट करते हैं,तो

मान लीजिए $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z|=1$ है। यदि $\frac{2+k^2z}{k+\overline{z}}=kz$,जहाँ $k \in R$ है,तो वृत्त $|z-(1+2i)|=1$ से $k+ik^2$ की अधिकतम दूरी क्या है?

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2} + (2i - 1) = 0$ के मूल हैं। तो,$|\alpha^{8} + \beta^{8}|$ का मान किसके बराबर है?

एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,मान लीजिए $\arg(z)$ मुख्य कोणांक को दर्शाता है जहाँ $-\pi < \arg(z) \leq \pi$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $FALSE$ (असत्य) है/हैं?
$(A)$ $\arg(-1-i) = \frac{\pi}{4}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$
$(B)$ फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi, \pi]$,जो $f(t) = \arg(-1+it)$ द्वारा परिभाषित है,$\mathbb{R}$ के सभी बिंदुओं पर सतत है,जहाँ $i = \sqrt{-1}$
$(C)$ किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) - \arg(z_1) + \arg(z_2)$,$2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज है।
$(D)$ किन्हीं तीन दिए गए भिन्न सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिए,$\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ शर्त को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ एक सीधी रेखा पर स्थित है।

यदि $(3 + i)z = (3 - i)\bar{z}$ है,तो सम्मिश्र संख्या $z$ है