यदि frac{1^3+2^3+3^3+ldots n text{ पदों तक}}{ | vedclass

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Question

(D) अंश का योग $\sum_{r=1}^n r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ है।हर $\sum_{r=1}^n r(2r+1) = \sum_{r=1}^n (2r^2+r) = 2\sum r^2 + \sum r$ है।मानक

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$5$

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(D) अंश का योग $\sum_{r=1}^n r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ है।हर $\sum_{r=1}^n r(2r+1) = \sum_{r=1}^n (2r^2+r) = 2\sum r^2 + \sum r$ है।मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$।दिया गया अनुपात: $\frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}} = \frac{9}{5}$।सरल करने पर: $\frac{3n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{9}{5}$।$\frac{n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5n^2 + 5n = 24n + 30$।$5n^2 - 19n - 30 = 0$।$(n-5)(5n+6) = 0$।चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $n = 5$।

यदि $\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots n \text{ पदों तक}}{1 \cdot 3+2 \cdot 5+3 \cdot 7+\ldots n \text{ पदों तक}} = \frac{9}{5}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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